Leire Arana irakasleari galdera horiek etortzen zitzaizkion burura, Fisikako karrera egin ondoren 1998an Batxilergoan eskolak ematen hasi zenean. Ordura arte oso esperientzia positiboa izan zuen matematikarekin: ongi moldatzen zen teknikoki, kontzeptu guztiak erraz ulertzen zituen, eta asko gustatzen zitzaion. Baina zenbait  ikasleri kontrakoa gertatzen zitzaiela jabetu zen. Are gehiago, arazo handi bat ikusten zuen: “DBHn eta Batxilergoan egiaztatu nuen”, dio. “Oinarrizko lau eragiketak ikasten dituzte LHko 1. mailatik hasita, ehuneko kontzeptuarekin eta proportzioarekin dabiltza LHko 5. mailatik, eta, Batxilergoan, oraindik ez dute ulertzen ondo zelan maneiatzen diren horiek denak. Benetako egoerak eta buruketak iristen direnean, nolako zailtasunak izaten dituzten!”.

Gero, ama izan zen, eta, hiru semeekin, ikasketen ibilbidea berriro behetik gora egitea egokitzen ari zaio. Hor ere, gauza bera ikusi zuen: “Lehen semea LHko 1. mailako matematikarekin hasi zenean, konturatu nintzen hark paperean ikusten zuen 6+7 ez zela ezer harentzat, oso abstraktua zela ulertzeko. Eta nik neuzkan ezagutzak ez ziren inondik inora baliagarriak harentzat; ez zuen ulertzen. Arakatzera eraman ninduen horrek”. Orduan deskubritu zuen matematikak eskuetara.

Zer da matematikak eskuetara?

“Matematika liburuetatik ateratzea eta beste modu batera maneiatzea da”, labur esanda.  “Ez da manipulatzeagatik manipulatzea, baizik eta kontzeptuak hobeto ulertzeko erabiltzea; gero iritsiko da paperera pasatzea”.

Lau gako-hitzek deskribatzen dute Matematikak eskuetara: esperimentala, manipulagarria, jolasa eta algoritmoak.  

Leire Aranak ematen dituen lantegietan, berehala jartzen ditu gurasoak zein irakasleak ezaugarri horiek deskubritzen, ariketa baten bitartez: lau paper zati jartzen ditu lurrean, eta hitz bat du idatzita horietako bakoitzak: gogoko, ez gogoko, ondo moldatu eta eskas moldatu. Galdera hau egiten die gero: “Nola moldatzen zineten matematikan, eta zenbat gustatzen zitzaizuen? Kokatu zeuen burua paper hauetako batean”. Bakoitza bere lekuan kokatu ondoren, ariketa honen ezaugarriak azaltzen hasten da.

• “Zer egin dugu? Sarrera bikoitzeko taula bat. Baina, paperean egin ordez, geuk egin dugu, geure gorputzarekin, eta geure egoera batekin; zeuen burua definitu behar izan duzue”. Nolabait esateko, antzerkia egin dute lantegiko partaideek; ariketa esperimentala izan da, eta bizi egin dute. Horixe da matematikak eskuetara definitzen duen hitzetako bat: edozein trebezia edo gai lantzeko orduan, hasierako hurbilketa norberaren gorputzetik egin beharko litzateke, norberaren esperientziarekin lotuta. “Haurrak askotan jartzen ditugu esanguratsuak ez diren adibideen aurrean; gari zakuak, parkingetako sartu-irtenen kopuruak… Horiek ez dira umeen intereseko gaiak, eta ezin ditugu erabili kontzeptu berriei aurre egiten hasteko. Zergatik ez diete galdetzen karameluez, kromo paketeez edo marrazki bizidunez? Aprobetxa dezagun une hori, batuketak edo biderketak egiteko!”.
• Ondoren, hainbat modutan kontatzen hasten dira: guztira zenbat dauden, talde batean beste batean baino zenbat gehiago dauden… Horrela, batuketak, kenketak, konparaketak… egiten hasten dira, baina ez paperean, baizik eta Cusineren erregeletekin, zotzekin… Hau da, eskuekin eta materialak eskuetan erabiliz. Materiala manipulatuz hurbilarazten zaizkie kontzeptuak haurrei, jakinik uneren batean paperera pasatu beharko dutela. “Argi dago DBH bukatzean 2. mailako ekuazioak paperean ebazten jakin beharko dutela ikasleek, legea horrela den bitartean. Baina hurbildu diezazkiegun bidean sartzen hasi garen kontzeptuak lehenengo esperientziak biziz eta manipulatuz. Hori da gakoa”.
• Ariketa hau jolas modura planteatzen du Leire Aranak lantegietan, eta horixe da hirugarren hitza: jolasa. “Nire ustez, jolasa da dagoen gauzarik produktiboena, arrazoi askorengatik”, dio. “Batez ere, ikasteko une onenak eta ikasketa sakonenak sortzen dituelako. Oso garbi daukat”. Jolasaren aukerak infinitu dira, eta, gainera, infinitu jolas daude. Aranak dio perfektua dela jolasaren testuingurua. Hau da, testuinguru erlaxatua eskaintzen du jolasak; batuketa bat egitean gaizki egiten bada, ez du inporta. Akatsa zuzendu, eta aurrera jarraitzen da jolasten eta kontatzen, inolako traumarik sortu gabe. Horregatik dio jolasak gelan askoz ere gehiago aktibatu beharko liratekeela. “Gainera, aipatutako testuinguru hori gidatzen duenak edo bidelagun denak egoera ongi zukutzen baldin badaki, bonba bat da jolasa matematikoki”.
• Laugarren gakoa: algoritmoak. Batuketak, kenketak, biderketak eta zatiketak ikasteko modua errebisatzeko beharra ikusten du Aranak. “Guk egiten ditugun moduan, bururakoarekin, zenbakiak ondo lerrokatuta... oso abstraktuak dira. Badaude beste modu batzuk, eragiketak egiteko. Adibidez, ABN algoritmoak askoz ere modu naturalagoan planteatzen ditu lau algoritmo horiek: bururakorik gabe eta zenbakikuntzan askoz gehiago zukutuz. Andaluzian garatu da 2008tik hona ABN algoritmoa, eta penintsula osoan hedatzen ari da pixkanaka-pixkanaka. Hemen, Euskal Herrian, ez da zabaldu oraindik. “Nik nahiko nuke Euskal Herriko umeek batuketak, kenketak, biderketak eta zatiketak beste modu batera egitea hemendik urte batzuetara. ABN algoritmoarekin, ondo funtzionatzen dute, eta askoz ere aberatsagoa da. Askoz ere ibilbide hobea eta azkarragoa egiten dute ikasleek”.

Edonola ere, ABN algoritmoaren ordez gaur egungoa erabiltzen bada, gutxienez aurrena materialekin jardutea aldarrikatzen du Aranak, eta testuinguru errealean: txotxekin, kromoekin, kartekin… “Erabili materialak luze, ondo asimilatu arte, eta, gero, pasatu paperera”.

Laburtuz, matematikaren inguruan gelan egiten den jarduna bizipenetan zentratzea, eskuekin manipulatzea, jolasen bidez lantzea eta algoritmoak goitik behera aldatzea dago matematikak eskuetara planteamenduaren azpian.

Nondik hasi? Lehen 4 pausoak

Matematika ikasleen eskuetan jartzeko, egungo matematikaren irakaskuntza osoa berrikusi behar da, eta ongi prestatuta  egon behar du hezitzaileak. Bide horri ekiteko, lau gako edo pauso garrantzitsu azpimarratu ditu Aranak.

1. Haurrekiko irakaslearen ikuspegia, eta gaiarekiko ezagutza teknikoa: Alde batetik, funtsezkoa da haurraren errealitatea ezagutzea eta kontuan hartzea. Izan ere, haurra ez baldin badago ondo, ez da ezertarako egongo gelan. Gaixorik dagoenean ez da ezertarako egoten; bada, gauza bera, beste edozer pasatu bazaio: etxean haserretu delako, irakaslearekin eroso ez dagoelako, kezkaren bat duelako,  irakaslearen edo beste zerbaiten beldur delako… Horretarako, irakasle bakoitzak lan pertsonala egin behar du; ongi jakin behar du zer motxila dakarren. “Gure ikastolan, Konfiantzaren Pedagogiak praktika pedagogikorako esparrua eskaini digu, eta Golden Bostek, horretarako estrategiak. Horrek guztiak geure gabezietan eta indarguneetan murgilarazi gaitu... Asko hausnartu dugu. Barne-mugimendu pertsonala ekarri digu, eta ez dakit ez ote den hori garrantzitsuena”, dio Aranak. Mugimendu horren ondorioz, haurrekiko irakasleen jokabideak aldatu egiten dira. Haur batek gustatu ez zaigun jokabide bat izan badu, erantzuna hauxe izan daiteke: “Horrela jarraitzen baduzu, zuzendariarengana zoaz”; edota “zer gertatzen zaizu, zergatik zaude horrela?”. Norberaren ikuspegia eta erreakzioa daude hor, eta funtsezkoa da hori lantzea.Horrekin batera, irakasleen prestakuntzari garrantzi handia ematen dio Aranak. Haren iritziz, irakasleak eskuartean duen gaia edozein delarik ere, oso ondo ezagutu behar du teknikoki. Horregatik, Irakasle Eskoletan jasotzen den prestakuntzari so jartzen da. “Hezkuntzan jarduten duen jendeak oso ona izan behar luke”. Irakaslearen eta bidelagunaren betekizuna ikaragarri garrantzitsua dela dio, eta asko arduratzen eta larritzen du Irakasle Eskoletako ikasleek matematikan zer-nolako gabezia daukaten ikusteak. “Ez dakit gaur egun zer nota eskatzen duten Irakasle Eskolarako sarbidean, baina eskola horretara onenek joan beharko lukete, medikuntzara-eta joaten diren bezala. Zeren etorkizuna dago jokoan! Herrialde baten etorkizuna jokatzen da, eta ez matematikan soilik, denean baizik”. Noski, horrek berarekin dakar Irakasle Eskoletan ere oso-oso irakasle onek egon beharra.
2. Piramide metodologikoa: baliabide bakoitza ikasleekin zenbat erabili beharko litzatekeen erakusten du hiruki honek. Testuliburuak goian daude, pastelak bezala, noizean behin erabiltzeko. Aranak testuliburuen ordez gidaliburu bat edukitzea amesten du. Oztopo nabarmen bat ikusten dio testuliburuak erabiltzeari: haur bakoitzak berea edukitzea. “Irakasleek ikaragarrizko presioa sentitzen dute testuliburu hori etxera beteta eraman dezaten. Eta orduan, presio horren aurrean, fitxak, fitxak eta fitxak, orriak, orriak eta orriak egiten dira. Irakasleek ez dute denborarik izaten apur bat geratu eta gauzak beste modu batean egiten saiatzeko”. Testuliburua gida moduan hartuz gero, aldiz, han planteatzen diren proposamenak gelako haurren ezaugarrietara molda daitezke, liburuaren ildoari jarraituz.
3. Algoritmo egokiagoak erabiltzea: ABN algoritmoak erabiltzea proposatzen du Arizmendi ikastolako irakasleak.
4. Instrukzio itsuak eta bide bakarrak saihestu: bide anitz daude gauzak ikasteko. Batuketak eta kenketak hamaika modutara egin daitezke: erregeletekin, ehuneko taularekin, zuzen errealarekin, zotzekin, ABN algoritmoarekin, abakoarekin, taptanarekin… “Baliabideak badaude! Beraz, ezagut ditzagun, ez baitira ezagutu ere egiten, eta erabil ditzagun!”. Beti modu berean egiteak asperdura dakar. Aldiz, aberastu egiten gaitu modu anitzetara egiteak.

Gako horiek aurrera eramateko, honako dekalogoa proposatzen du:

1- Aukerak denei eman, eta bakoitzak behar duenetik jardun.

2- Esperimentaziotik eta bizipenetik abiatu.

3- Gardentasuna bilatu.

4- Ikerketa matematikoak egin.

5- Kontzeptuak hitzetara ekarri.

6- Edukien eta egoeren mailaketa egokia zaindu.

7- Zehaztasuna eta estimazioa landu.

8- Zuzenekotik alderantzizkorako bidea egin.

9- Eredu formalak erabili.

10- Ahal den guztietan gozatuz eta jolastuz jardun.

Matematikak eskuetara etapaz etapa

Orain arte aipatutako guztia jar daiteke praktikan geletan, eta horretan ari dira Aranak lana egiten duen zentroan, Arizmendi ikastolan. Etapaz etapa, zer egin daitekeen azaldu digu, adibideak emanez eta gauza egingarriak direla erakutsiz.

Haur Hezkuntza

Matematikan, lau esparruz hitz egin ohi da: logikaz, zenbakikuntzaz, neurriaz eta geometriaz. Laurak  aparte aipatu ohi dira, baina elkarri lotuta daude, eta laurak elikatu behar dira. Nola? Materiala eskainiz eta euren gorputzak eskatzen diena egiten utziz.

• Bai matematikaren garapenak, bai edozein gairenak librea izan behar luke Haur Hezkuntzan: materiala jarri aurrean eta inguruan, eta haiei utzi.
• Esploratzailea: haurrari eskatzen duenari heltzen, mugitzen, aldatzen… utzi.
• Manipulagarria: eskuekin materialak eta kontzeptuak maneiatu, testulibururik gabe.

Lehen Hezkuntza

Hasteko, entresaka egin beharko litzateke testuliburuetan: zer landu liburuarekin, eta zer modu manipulagarrian. Eta hurrengo urratsa testulibururik gabe dena manipulagarri egitea eta proiektuen bidez lantzea litzateke. Are gehiago, ikasketa esanguratsua egin nahi bada, une horretan ikasleen intereseko gai batekin lotuta egon beharko du proiektuak. Esate baterako, futbolarien kromoekin baldin badabiltza, horri atera behar zaio zukua. “Iaz, txitak eta arrautzak ateratzeko inkubagailuak jarri zituzten gure ikastolan. Bada, hizkuntza eta matematika lantzeko baliatu genuen egoera”. “Niri gustatzen zait pasatzen diren gauzei zuku matematikoa ateratzea”.

Horrez gain, garrantzitsua da materiala arakatzea. Material asko eta asko dago, eta arakatu egin behar da. Eta, ondoren, manipulagarri bihur daitekeena manipulagarri bihurtu.

Prozesu horretan aldaketa esanguratsu bat dago: haurrari begiratzeko eta heltzeko modua. “Hori asko aldatu da. LHko lehen mailara datorren haurrari beste modu batera begiratzen zaio orain, eta funtsezkoa izan da hori”.

DBH

Une honetan, EKIrekin dabiltza DBHn. Gauza on asko ikusten dizkio Aranak, EKIn egoera errealei lotuta egiten baita bidaia, edukietan zehar. Baina, hor ere, kontzeptuak ikasleengana hurbiltzeko moduetan, aldaketak egiteko aukera ikusi du. “Nik saiakera bat egin nuen iaz, materialaren bi heren EKIrekin eginez, eta beste herena modu manipulagarrian”, azaldu digu. “EKIren helburuak ikusi nituen, zer jarduera mota proposatzen ziren papererako, eta nik egokitu egin nituen laborategian egiteko, irudiekin-eta lantzeko, 3 dimentsioko geometria erabiltzeko… Adibidez, paperean paralelogramo bat jartzen badizute neurtzeko, zergatik ez neurtu lurrean, edo irten kalera paralelogramo bat aurkitu eta haren azalera neurtzera?”.

Batxilergoa

Selektibitateak duen pisua kontuan hartuta, 2. maila ukiezin bihurtzen da. Oso ikasturte akademizista da, hautaproba hori dela-eta,  eta ez dute aldaketarik egin maila horretan.

Lehenengo mailan bai, zenbait arlo hartzen dituzten proiektuak landu dituzte, eta oso gustura daude izandako emaitzarekin. “Irakasleok lantaldetan banatu gara, eta sei proiektu sortu ditugu. Helburua da horiek garatu ahala ikasleak edukiak bereganatzen joatea. Eta, era berean, gutxiago edo gehiago gidatuta, ikasleek eurek beren ikerketak eta prozesuak garatzea. Edukiak lantzean ere, ikasleak testuinguru eta eginkizun errealetan jartzea, alegia”.

Biologiarekin lotuta, proiektu batean, esate baterako, kirol enpresa bat sortu eta entrenamendu pertsonalizatuak antolatu behar zituzten (adar zientifikoko eta giza zientzietako ikasleak ziren): benetako bulegoak muntatu zituzten, etxeko kafe-termoarekin joaten ziren… Kimika, biokimika, heziketa fisikoa, hizkun-
tza, azterketa estatistikoak… landu zituzten. 

Horrela planteatuta, askoz ere erakargarriagoa da gaia. “Egia esan behar badut, ni oso eszeptiko hurbildu nintzen proiektuetara. Izan ere, oso abstraktuak iruditzen zaizkit Batxilergoko edukietako asko eta asko, eta ez nekien nola ekarri gure bizitza errealera”, dio Aranak. “Eta egia da batzuk oso zailak direla, baina beste batzuk molda daitezke”. Horregatik, molda daitezkeen horiei heldu diete, eta horiek garatzen ari dira. “Onena izan zen ikasleek oso balorazio ona egin zutela. Horrek, nola ez, bultzada handia eman zigun irakasleoi”.

Helbide interesgarriak

www.matematiketan.eus

www.aprendiendomatematicas.com

www.actiludis.com