GeoGebra eta Bigarren Hezkuntzako ­irakasleen prestakuntza

2014-05-01

Nafarroako Unibertsitate Publikoan, Lehen Hezkuntzako Irakasle Graduetako matematikaren didaktikako ­irakasgaietan, GeoGebra ­softwareak Cabri II Plus ­ordezkatu zuen 2008/2009 ikasturtean.

 
 
Ordezkatze hori bi arrazoi sortak motibatu zuten: pragmatikoak alde batetik, eta epistemologikoak eta irakaskuntzari loturikoek bestetik.
Arrazoi pragmatikoen artean daude, esate baterako, software librea izatea, eta, ondorioz, hura erabiltzeko ez dela lizentziarik ordaindu behar. Gainera, euskaraz erabil daiteke, itzulpena guk geuk kudeatzen dugulako. Gainera, teknikoki erabilgarria, atsegina eta intuitiboa da.
Beste arrazoi batzuk epistemologikoak dira eta irakaskuntzari loturikoak. Matematikaren edukiak elkarrekin erlazionaturik daude eta GeoGebrak dituen tresnak baliatuz posible da geometria, aljebra eta funtzioen teoriako nozioak, prozesuak eta esanahiak modu integratuan garatzea. Horrez gainera, azken bertsioetan pakete estatistikoak sartu dituzte, eta horrek softwarearen moldaerraztasuna lagundu du.
Hori guztia dela eta, pixkanaka bada ere, softwarearen erabilera hedatzen ari da Lehen eta Bigarren Hezkuntzan, nahiz eta momentuz softwarearen eragina eskasa den Euskal Herriko ikastetxeetan. Hedatzea bultzatzeko ahaleginean ari direnen artean, aipatu behar dira, alde batetik, Nafarroako irakasleen prestakuntzarako ILZ zentroak, eta, bestetik, Udako Euskal Unibertsitatea, azken honek kudeatzen baititu prestakuntza ikastaroak, bai bere eskaintza propioaren barruan, baita GARATU programaren barruan ere. Horri esker, irakasleriaren gaitasun digitala hobetzeko jarduera konkretuak 
egiten dira. Azkenik, Lekuko GeoGebra Insitutuek antolatzen dituzte prestakuntza ikastaro horien osagarri diren jarduerak: eztabaida foroak (GeoGebra-wikia), aurrez aurreko mintegi eta jardunaldiak eta Lehen eta Bigarren Hezkuntzako ikasleei zuzenduriko sariketak (www.geogebra.org).
Artikulu hau argitaratu den unean, Euskal Herriko GeoGebra Institutua sortu berri da, International GeoGebra Institut erakundearen tokiko elkartea. Institutu honen helburuen artean dago, hain zuzen ere, softwarearen itzulpena kudeatzea, matematikaren irakaskuntzarako materialen biltegi bat sortzea eta irakasleen etengabeko prestakuntza jarduerekin aurrera jarraitzea.
Testuinguru horretan eta 2010/2011 ikasturtean, egoki ikusi zen GeoGebra erabiltzen hastea Bigarren Hezkuntzako Irakasleen Masterrean. Irakasle Graduetako ikasleek ez bezala, Masterreko ikasleek euren jatorrizko titulazio zientifiko eta teknikoetan ikasi dituzte erabiltzen GeoGebra bera baino zorrotzagoak diren matematika-softwareak. Honenbestez, Bigarren Hezkuntzako irakasle-gaiak trebatu nahi dira softwarearen oinarrizko erabileran, gai izan daitezen GeoGebrarekin egindako eraikuntza dinamikoak eta matematikaren ikaskuntza-irakaskuntza prozesuak baloratu, erabili eta baita modu autonomo batean diseinatzeko ere.
Masterreko matematika berezitasunean, zeregin gisa, ikasleek analisi matematikoaren baitako gai bat garatu behar dute. Teoremak frogatu behar dituzte, problemak ebatzi eta gaiaren ahozko aurkezpena egin behar dute. GeoGebra erabili da, arbela digitalarekin batera, garapen matematiko horren osagarri gisa, Bigarren Hezkuntzako curriculumaren baitakoak diren emaitzak bistaratzeko.
Gardentasunaren ilusioa
Analisi matematikoko edukiak ­ilustratzeko ohiko arbela erabiliz gero, saio bakoitzean funtzioen adierazpen grafiko bat edo adierazpen gutxi batzuk besterik ezin dira aurkeztu. Adibide horiek fenomeno didaktiko bat eragin dezakete, hau da, gardentasunaren ilusioa sor dezakete. Nola lagun dezake GeoGebrak fenomeno hori gainditzen? Bestela ­esanda, adibide bat bi eratara interpreta daiteke, “objektu isolatu” gisa eta “klase baten ordezkari gisa”, eta, galdera da GeoGebrak bi interpretazio horien arteko distantzia murrizten lagunduko ote duen.
Hain zuzen ere, lan honetan azalduko dugu GeoGebrak aukera ematen duela jakintzaren eraikuntzan eta komunikazioan aurrera egiten, eta laguntzen duela gardentasunaren ­ilusioa gainditzen. Argudioa babesteko, hainbat jatorritako adibideak aurkeztuko ditugu: batzuk klasikoak dira, esate baterako, zuzen ukitzailearen eta deribatuaren ebazpenean kalkulu infinitesimalak duen garrantzia; beste batzuk oinarrizkoak dira, hala nola, deribatuaren nozioa bera; azkenak Bigarren Hezkuntzako curriculumetik hartu dira, hala nola, kalkulu diferentzialeko eta integraleko zenbait teorema.
 
Emaitza klasikoak: Nikomedesen Konkoidea
Historikoki, Newtonen eta Leibnizen kalkulu infinitesimalaren aurretik, kurba baten zuzen ukitzaileak metodo geometrikoen bidez aztertzen ziren. Nikomedesen Konkoidea, maskor-itxurako kurba, GeoGebraren bidez adieraz daiteke leku geometriko gisa (1 irudia, http:// www.geogebratube.org/student/m103751).
Konkoideak bi parametro dituenez, ez da kurba bakar bat; aitzitik, kurben familia da. GeoGebraren bidez familiako edozein konkoide ­adieraz daiteke. Ez da adibidea: eraikuntza dinamikoak konkoideen familia guztia hartzen du, eredu dinamiko bat da. Behin konkoidea adierazi ostean, arbel digitalean haren irudi bat hartuz, kurba parametrizatu egin daiteke (jatorri gisa hartzen da G puntua), eta, azkenik, kalkulu infinitesimalaren bidez hura aztertu (2 irudia).
Oinarrizko nozioa: deribatua
Oinarrizko nozioak, esate baterako deribatua, nola azter daitezkeen erakusteko, parabola erabiliko dugu. Izan ere, kurben familia hori aski ezaguna da Bigarren Hezkuntzako ikasleen artean. Beste behin ere, eredu dinamikoaren bidez manipulatuko dira parabola definitzen duten hiru parametroak, familiako edozein parabola irudikatzeko. Gainera, eraikuntzaren bidez, aldiuneko aldakuntza-tasa interpreta daiteke A eta B bi puntuen arteko batez besteko aldakuntza-tasaren kasu partikular gisa, puntu horiek elkarren nahi bezain hurbil daudenean. 
Horrela, A eta B infinituki gertu daudenean, eraikuntzak zuzen ukitzailea erakutsiko du (2 irudia, http://www.geogebratube.org/student/m103888). 
 
Gardentasunaren ilusioa: fenomeno honen arabera, irakasleak adibidea eredu gisa interpretatzen du, hau da, klase baten ordezkari gisa, ikasleak adibidea besterik ikusten ez duen bitartean. Matematikaren eraikuntza eta komunikazioaz ari garela, fenomeno horrek erakusten du badagoela distantzia bat ezagutza zientifikoaren eta eskola-instituzioan kristalizaturiko eta etiketaturiko ezagutzaren artean. Ho­rregatik, ezinbestekoa da irakasleek eta ikasleek “hizkuntza bera erabiltzea” eta horretarako bitartekoak aurkitzea. 

2014-05-01